estadistica inferencial 1

jueves, 13 de septiembre de 2018

distribución Muestral de Proporciones

Las proporciones muestrales de tamaño $n \geq 30$ extraídas de una población con probabilidad de éxito , se ajustan a una distribución normal de parámetros:

$N\left(p, \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}} \right)$

Se basa en la Aproximación de la Binomial a la Normal, por tanto, se considera una buena aproximación cuando se cumplan las condiciones $n \geq 30$ , $n\cdot p \geq 5$ y $n\cdot (1-p) \geq 5$
En la práctica la proporción de la población suele ser desconocida y se usa la proporción de la muestra $(\overline{p})$

Una fábrica de pasteles fabrica, en su producción habitual, un $3 \%$ de pasteles defectuosos. Un cliente recibe un pedido de pasteles de la fábrica. Calcula la probabilidad de que encuentre más del $5 \%$ de pasteles defectuosos

SOLUCIÓN

Estamos tomando una muestra de tamaño , de una población donde la proporción de pasteles defectuosos es de . Podemos usar las Distribución Muestral de Proporciones, que se ajusta a una normal $N\left(p, \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}} \right)$

En nuestro ejemplo, si sustituimos los valores de y y calculamos, sería

a) $P(\overline{p}>0.05) = P\left(Z>\frac{0.05-0.03}{0.0076}\right) = P(Z>2.63)=$
$=1 - P(Z \leq 2.63) = 1 - 0.9957 = \fbox{0.0043}$
Se ha tipificado la variable y se ha hecho uso de la tabla de la N(0,1)

distribución de la diferencia de medias

Distribución Muestral de Diferencia de Medias

Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media

₁ y desviación estándar

₁, y la segunda con media

₂y desviación estándar

_2.Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n₁ de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n₂ de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico

La distribución es aproximadamente normal para n₁

30 y n₂

30. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras.

En ejercicios anteriores se había demostrado que

y que

, por lo que no es difícil deducir que

y que

.
La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:

Ejemplo:
En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si

representa el promedio de los pesos de 20 niños y

es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

Solución:
Datos:

₁= 100 libras

₂ = 85 libras

₁= 14.142 libras

₂= 12.247 libras

n₁ = 20 niños

n₂ = 25 niñas

= ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.