DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIA DE PROPORCIONES

DIFERENCIA DE PROPORCIONES  El estadístico de prueba que permite contrastar frente a  a partir de dos muestras aleatorias e independientes es  siendo p la estimación de  obtenida del total de observaciones. Si se consideran las proporciones como medias y se aplica la prueba t utilizada para comparar medias poblacionales los resultados no son fiables ya que la estimación del error típico que realiza el programa no coincide con la del estadístico de prueba. Para resolver el problema con el programa SPSS se deberá cruzar la variable analizada con la que define los grupos (obtener la tabla de contingencia) y realizar el contraste de independencia Chi-cuadrado. El estadístico de prueba Chi-cuadrado se define:  y presenta una distribución Chi-cuadrado con (I-1)(J-1) grados de libertad. Las Eij se calculan multiplicando las frecuencias marginales y dividendo el producto por n. Estas Eij son estimaciones de las frecuencias absolutas que cabría esperar en cada casilla bajo el supuesto de que la proporción de éxitos es la obtenida a partir del total de observaciones muestrales sin considerar diferencias entre los dos grupos. La secuencia es: Analizar Estadísticos Descriptivos Tablas de contingencia En el cuadro de diálogo se indica la variable que se quiere contrastar (filas), la variable que define los dos grupos (columnas) y se selecciona la opción Chi-cuadrado en Estadísticos. EJEMPLO Con referencia a la encuesta Enctrans.sav se quiere comprobar si la proporción de alumnos con vehículo difiere significativamente entre los grupos definidos según el género. La hipótesis nula del contraste es ; siendo  la proporción poblacional de hombres con vehículo y  la proporción poblacional de mujeres con vehículo. Con la secuencia Analizar > Estadísticos Descriptivos > Tablas de contingencia se accede al cuadro de diálogo donde se indica que la variable a contrastar es Vehículo y que la variable de agrupación es el Género, y se selecciona la opción Chi-cuadrado en Estadísticos. Al aceptar se obtiene el siguiente cuadro de resultados. Si es cierto que la proporción de propietarios de vehículo es la misma en los dos grupos,  , la estimación de  es la proporción de propietarios de vehículo para el total de alumnos de la muestra, es decir, 39/114=0,3421. La frecuencia esperada de hombres con vehículo se obtendrá multiplicando esta proporción por el total de hombres en la muestra, o sea, 0,3421·54=18,5; y de la misma forma se obtendrá la frecuencia esperada de mujeres con vehículo: 0,3421·60=20,5 (veáse que estas frecuencias esperadas coinciden con las que cabría esperar en el caso de que las variables Género y Vehículo fueran independientes). El estadístico Chi-cuadrado toma el valor 0,998 y el nivel de significación crítico es 0,318, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula para los niveles de significación habituales y se puede aceptar que no hay diferencia entre la proporción de hombres y mujeres propietarios de vehículos.

distribución Muestral de Proporciones

Las proporciones muestrales de tamaño  extraídas de una población con probabilidad de éxito , se ajustan a una distribución normal de parámetros:

 Se basa en la Aproximación de la Binomial a la Normal, por tanto, se considera una buena aproximación cuando se cumplan las condiciones  ,  y 
 En la práctica la proporción de la población  suele ser desconocida y se usa la proporción de la muestra 

Una fábrica de pasteles fabrica, en su producción habitual, un  de pasteles defectuosos. Un cliente recibe un pedido de  pasteles de la fábrica. Calcula la probabilidad de que encuentre más del  de pasteles defectuosos

SOLUCIÓN

Estamos tomando una muestra de tamaño , de una población donde la proporción de pasteles defectuosos es de . Podemos usar las Distribución Muestral de Proporciones, que se ajusta a una normal 

En nuestro ejemplo, si sustituimos los valores de  y  y calculamos, sería 

 a) 

Se ha tipificado la variable y se ha hecho uso de la tabla de la N(0,1)

distribución de la diferencia de medias

Distribución Muestral de Diferencia de Medias

Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media ₁ y desviación estándar ₁, y la segunda con media ₂ y desviación estándar _2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n₁ de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n₂ de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico 

La distribución es aproximadamente normal para n₁30 y n₂30. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras.

En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo que no es difícil deducir que  y que .
La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:

Ejemplo:
En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si  representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

Solución:
Datos:

₁ = 100 libras

₂ = 85 libras

₁ = 14.142 libras

₂ = 12.247 libras

n₁ = 20 niños 
n₂ = 25 niñas
 = ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.